第2章：量子门、纠缠与可逆计算

幺正演化

封闭系统的理想演化由幺正矩阵 U 描述， $U^\dagger U=I$ ，从而保持内积与归一化。常用单比特门包括

X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad Z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}.

X 交换计算基，Z 改变相对相位，H 连接计算基与正负基。测量不是一般的幺正操作，需用更广的操作模型描述。

CNOT 在控制位为 1 时翻转目标位。由 $|00\rangle$ 开始，先对第一位施加 H，再施加 CNOT，得到

|\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt2}.

该态不能写成两个单比特态的张量积。若 $(a|0\rangle+b|1\rangle)(c|0\rangle+d|1\rangle)$ 与它相等，就要求 $ac,bd$ 非零而 $ad,bc$ 为零，矛盾。

在计算基测量两位，结果总相同，但每一位单独都是均匀随机。相关性不意味着任一方能选择自己的随机结果来向对方即时发送消息。

经典函数 f 可能多对一，不能直接作为幺正映射 $|x\rangle\mapsto|f(x)\rangle$ 。常用嵌入为

U_f|x,y\rangle=|x,y\oplus f(x)\rangle.

保留 x 使整体映射可逆，且该形式在计算基上是置换。若辅助寄存器残留与结果纠缠的垃圾，后续干涉可能受影响，因此要用反计算清理不再需要的中间值。

假设 U 能把任意未知态与空白态变成两份，即 $U|\psi,0\rangle=|\psi,\psi\rangle$ 。对另一个态 $|\phi\rangle$ ，内积保持要求

\langle\psi|\phi\rangle=(\langle\psi|\phi\rangle)^2.

这只允许内积为 0 或 1，与任意非正交不同态矛盾。不可克隆限制未知态的通用复制，不禁止复制已知经典基态。